形式幂级数与 Lagrange 反演公式

  在本文中我们来介绍如何从形式幂级数角度看待 Lagrange 反演公式。这个视角在组合计数问题上有重要的应用。

定义与基本运算

定义 1.1\(\mathbb{K}\) 是一个特征零的域(例如 \(\mathbb{Q}\)\(\mathbb{R}\)\(\mathbb{C}\) 等)。

  1. 本文所说的“数列”是指从 \(\mathbb{Z}\)\(\mathbb{K}\) 的一个映射,即: \[\{a_n\}:\mathbb{Z}\to\mathbb{K}, \quad n\mapsto a_n.\]
  2. 一个数列 \(\{a_n\}\) 称为“洛朗的”,如果存在 \(n_0\in\mathbb{Z}\),使得当 \(n<n_0\) 时,总有 \(a_n=0\)
  3. 对于一个洛朗数列 \(\{a_n\}\),它的生成函数定义为如下形式幂级数: \[f(z):=\sum_{n\in\mathbb{Z}} a_n z^n.\] 这样的形式幂级数称为形式洛朗级数,所有形式洛朗级数的全体记为 \(\mathcal{A}\)\(\Diamond\)

  形式洛朗级数与洛朗数列是一一对应的,写成级数形式只是为了便于进行下面介绍的各种计算。我们下面将只用形式洛朗级数的写法,并简称之为“级数”,而不再提“洛朗数列”这个概念。
定义 1.2 对于两个级数 \(f(z), g(z)\in\mathcal{A}\)\[f(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}} a_n z^n, \quad g(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}} b_n z^n,\]

  1. 对于 \(\lambda, \mu\in\mathbb{K}\),定义
    \[\lambda f(z)+\mu g(z):=\sum_{n\in\mathbb{Z}} \left(\lambda a_n+\mu b_n\right)z^n.\] 特别地,当 \((\lambda,\mu)=(1,\pm 1)\) 时,上式所定义的即 \(f(z)\)\(g(z)\) 的“和”与“差”。
  2. 定义它们的“积”为
    \[f(z)g(z):=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\left(\sum_{k\in\mathbb{Z}}a_k b_{n-k}\right)z^n.\] 注意无论 \(n\) 是多少,当 \(|k|\) 充分大时,必有 \(a_k=0\) 或者 \(b_{n-k}=0\),所以 \(f(z)g(z)\) 的每个系数都不会出现无穷和。\(\Diamond\)

  我们通过如下引理来定义除法,在下一节中将给出另一种等价的定义。

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$\zeta(4)$

  在之前的《$\zeta(2)$》中,我们证明了下面两个恒等式: \[\begin{align*} & \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2\binom{2n}{n}}=\frac{1}{3}\zeta(2)=\frac{\pi^2}{18}, \\ & \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^3\binom{2n}{n}}=\frac{2}{5}\zeta(3). \end{align*}\] 类似的恒等式还有: \[\begin{align*} & \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\binom{2n}{n}}=\frac{1}{3}+\frac{2\pi}{9\sqrt{3}}, \\ & \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n \binom{2n}{n}}=\frac{\pi}{3\sqrt{3}},\\ & \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{\binom{2n}{n}}=\frac{1}{5}+\frac{4\log \tau}{5\sqrt{5}}, \\ & \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n \binom{2n}{n}}=\frac{2\log \tau}{\sqrt{5}}, \\ & \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^2 \binom{2n}{n}}=2 \log^2\tau, \end{align*}\] 其中 \(\tau=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)。这些恒等式都可以通过对《$\zeta(2)$》中证明过的生成函数恒等式 \[\begin{equation} \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}=2\left(\arcsin\frac{x}{2}\right)^2 \label{genfun} \end{equation}\] 求导并取 \(x=1\)\(x=\sqrt{-1}\) 得到。接下来的一个 \[\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3\binom{2n}{n}}\] 就没有这样好的表达式了,但再下一个则又有了 \[\begin{equation} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}=\frac{17}{36}\zeta(4)=\frac{17 \pi^4}{3240}.\label{iden} \end{equation}\]

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$\zeta(3)$

  今天我们来看看 Apéry 是如何证明 \(\zeta(3)\) 是无理数的。

准备工作

  上回说到,对任意的 \(n\in \mathbb{N}\),如下恒等式成立: \[\sum_{m=1}^n \frac{1}{m^3}+\sum_{m=1}^n\frac{(-1)^{m-1}}{2 m^3 \binom{n}{m}\binom{n+m}{m}} =\frac{5}{2}\sum_{m=1}^n \frac{(-1)^{m-1}}{m^3 \binom{2m}{m}}.\]\(n\to\infty\) 时,左边第一项的极限就是 \(\zeta(3)\),但它的收敛速度其实不是太快;而右边收敛得相当快,这说明左边的第二项有加速收敛的作用。如果一个级数收敛得特别快,那么它的极限很可能就不是有理数。Apéry 的证明可以说正是基于上面这个收敛很快的级数。不过,它收敛得还是不够快,所以 Apéry 对它进行了一些改造,进一步加快了收敛速度,从而证明了 \(\zeta(3)\) 的无理性。

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$\zeta(2)$

游戏名称

\[\zeta(2)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}.\]

  这个著名的等式称为 Basel 问题,关于这个问题有很多有趣的故事,不过它不是我们今天的主角,所以在这里就不多说了。
  今天要说的是和 Basel 问题很相似的另一个问题: \[\begin{equation} \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2\binom{2n}{n}} =\frac{1}{2}+\frac{1}{24}+\frac{1}{180}+\frac{1}{1120}+\cdots =\frac{\pi^2}{18},\label{eq-1} \end{equation}\] 或者换一种写法,就是 \[\begin{equation} \zeta(2)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2} =3\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2\binom{2n}{n}}.\label{eq-2} \end{equation}\] 利用 Stirling 公式很容易证明 \[\binom{2n}{n}\sim \frac{2^{2n}}{\sqrt{n}}\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}}+o(1)\right),\quad n\to\infty,\] 所以 \(\eqref{eq-2}\) 的右边收敛得很快,甚至可以用来计算 \(\zeta(2)\) 的近似值。

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