高阶微分:从入门到放弃

\(\require{AMScd}\)

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  本篇文字主要用来测试在 Hexo 环境下的 AMScd 包,顺便谈谈高阶微分这个东西。

  微分的概念一直是微积分教学中的难点,因为学生所掌握的数学工具不够,所以无法精确地理解这个概念。高阶微分的问题则更大:有一些书定义了高阶微分,但其运算规则很不清楚,并且也没有给出什么应用,看起来就像是一个无用的概念;有一些书则因为高阶微分不具备一阶微分的那种形式不变性,所以拒绝这个概念。本文将分析这其中的问题,给出具有形式不变性的高阶微分的定义,并通过例子说明,为什么这个概念在现有的微积分/数学分析体系中其实是没有必要引入的。

高阶微分的历史与现状

  莱布尼茨在 1675 年引入导数和微分的符号: \[y_x=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \qquad \Leftrightarrow \qquad \mathrm{d}y=y_x \mathrm{d}x,\] 高阶导数和高阶微分则可类似地定义,比如: \[y_{xx}=\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} \qquad \Leftrightarrow \qquad \mathrm{d}^2 y=y_{xx} \mathrm{d}x^2.\] 我们现在经常强调二阶导数的记号不可以看成两个东西相除,而应该把 \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\) 视为一个整体的算子,二阶导数则是这个算子在 \(y\) 上作用两次的结果。但是古人完全不是这么想的。在莱布尼茨看来,\(y_{xx}\) 是一个(通常的)数,\(\mathrm{d}x^2\) 是一个(无穷小)数,把这两个数相乘就会得到另一个(无穷小)数 \(\mathrm{d}^2 y\),有什么不可以的呢?

  拉格朗日在他 1811 年的《分析力学》中大量使用了微分和高阶微分的记号。比如我随手一翻,就能找到这样的公式: \[\left(X \, \mathrm{d}x+Y \, \mathrm{d}y+Z \, \mathrm{d}z\right)\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}s} +K\, \frac{\mathrm{d}x \, \mathrm{d}^4 x+\mathrm{d}y \, \mathrm{d}^4 y+\mathrm{d}z \, \mathrm{d}^4 z}{\mathrm{d}s^4}=\mathrm{d}\lambda,\] 或者这样的公式: \[\begin{align*} g &= \left(\mathrm{d}x+\mathrm{d}^2 x\right)^2+\left(\mathrm{d}y+\mathrm{d}^2 y\right)^2+\left(\mathrm{d}z+\mathrm{d}^2 z\right)^2 \\ &= \mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}y^2 + \mathrm{d}z^2 + 2 \, \left(\mathrm{d}x \, \mathrm{d}^2 x+\mathrm{d}y \, \mathrm{d}^2 y+\mathrm{d}z \, \mathrm{d}^2 z\right) + \mathrm{d}^2 x^2 + \mathrm{d}^2 y^2 + \mathrm{d}^2 z^2 \\ &= \mathrm{d}s^2 + 2 \, \mathrm{d}s \, \mathrm{d}^2 s + \mathrm{d}^2 x^2 + \mathrm{d}^2 y^2 + \mathrm{d}^2 z^2. \end{align*}\] (别问我这都是啥意思,我也不知道。)

  柯西在他 1823 年的分析学教科书中也介绍了微分和高阶微分的运算法则。通过他介绍的运算法则可以看出,那个年代的人们是把高阶微分和高阶导数视为同一个东西的不同写法的:\(n\) 阶微分除以 \(\mathrm{d}x^n\) 就是 \(n\) 阶导数、\(n\) 阶导数乘以 \(\mathrm{d}x^n\) 就是 \(n\) 阶微分。在这种观点下做计算,一定要牢记谁是自变量 \(x\)、谁是因变量 \(y\),因为自变量与因变量的高阶微分法则是不一样的(见下文)。古尔萨在他 1904 年的数学分析教科书中仍然沿用着这种观点。

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形式幂级数与 Lagrange 反演公式

  在本文中我们来介绍如何从形式幂级数角度看待 Lagrange 反演公式。这个视角在组合计数问题上有重要的应用。

定义与基本运算

定义 1.1\(\mathbb{K}\) 是一个特征零的域(例如 \(\mathbb{Q}\)\(\mathbb{R}\)\(\mathbb{C}\) 等)。

  1. 本文所说的“数列”是指从 \(\mathbb{Z}\)\(\mathbb{K}\) 的一个映射,即: \[\{a_n\}:\mathbb{Z}\to\mathbb{K}, \quad n\mapsto a_n.\]
  2. 一个数列 \(\{a_n\}\) 称为“洛朗的”,如果存在 \(n_0\in\mathbb{Z}\),使得当 \(n<n_0\) 时,总有 \(a_n=0\)
  3. 对于一个洛朗数列 \(\{a_n\}\),它的生成函数定义为如下形式幂级数: \[f(z):=\sum_{n\in\mathbb{Z}} a_n z^n.\] 这样的形式幂级数称为形式洛朗级数,所有形式洛朗级数的全体记为 \(\mathcal{A}\)\(\Diamond\)

  形式洛朗级数与洛朗数列是一一对应的,写成级数形式只是为了便于进行下面介绍的各种计算。我们下面将只用形式洛朗级数的写法,并简称之为“级数”,而不再提“洛朗数列”这个概念。
定义 1.2 对于两个级数 \(f(z), g(z)\in\mathcal{A}\)\[f(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}} a_n z^n, \quad g(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}} b_n z^n,\]

  1. 对于 \(\lambda, \mu\in\mathbb{K}\),定义
    \[\lambda f(z)+\mu g(z):=\sum_{n\in\mathbb{Z}} \left(\lambda a_n+\mu b_n\right)z^n.\] 特别地,当 \((\lambda,\mu)=(1,\pm 1)\) 时,上式所定义的即 \(f(z)\)\(g(z)\) 的“和”与“差”。
  2. 定义它们的“积”为
    \[f(z)g(z):=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\left(\sum_{k\in\mathbb{Z}}a_k b_{n-k}\right)z^n.\] 注意无论 \(n\) 是多少,当 \(|k|\) 充分大时,必有 \(a_k=0\) 或者 \(b_{n-k}=0\),所以 \(f(z)g(z)\) 的每个系数都不会出现无穷和。\(\Diamond\)

  我们通过如下引理来定义除法,在下一节中将给出另一种等价的定义。

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$\zeta(4)$

  在之前的《$\zeta(2)$》中,我们证明了下面两个恒等式: \[\begin{align*} & \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2\binom{2n}{n}}=\frac{1}{3}\zeta(2)=\frac{\pi^2}{18}, \\ & \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^3\binom{2n}{n}}=\frac{2}{5}\zeta(3). \end{align*}\] 类似的恒等式还有: \[\begin{align*} & \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\binom{2n}{n}}=\frac{1}{3}+\frac{2\pi}{9\sqrt{3}}, \\ & \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n \binom{2n}{n}}=\frac{\pi}{3\sqrt{3}},\\ & \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{\binom{2n}{n}}=\frac{1}{5}+\frac{4\log \tau}{5\sqrt{5}}, \\ & \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n \binom{2n}{n}}=\frac{2\log \tau}{\sqrt{5}}, \\ & \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^2 \binom{2n}{n}}=2 \log^2\tau, \end{align*}\] 其中 \(\tau=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)。这些恒等式都可以通过对《$\zeta(2)$》中证明过的生成函数恒等式 \[\begin{equation} \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}=2\left(\arcsin\frac{x}{2}\right)^2 \label{genfun} \end{equation}\] 求导并取 \(x=1\)\(x=\sqrt{-1}\) 得到。接下来的一个 \[\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3\binom{2n}{n}}\] 就没有这样好的表达式了,但再下一个则又有了 \[\begin{equation} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}=\frac{17}{36}\zeta(4)=\frac{17 \pi^4}{3240}.\label{iden} \end{equation}\]

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$\zeta(3)$

  今天我们来看看 Apéry 是如何证明 \(\zeta(3)\) 是无理数的。

准备工作

  上回说到,对任意的 \(n\in \mathbb{N}\),如下恒等式成立: \[\sum_{m=1}^n \frac{1}{m^3}+\sum_{m=1}^n\frac{(-1)^{m-1}}{2 m^3 \binom{n}{m}\binom{n+m}{m}} =\frac{5}{2}\sum_{m=1}^n \frac{(-1)^{m-1}}{m^3 \binom{2m}{m}}.\]\(n\to\infty\) 时,左边第一项的极限就是 \(\zeta(3)\),但它的收敛速度其实不是太快;而右边收敛得相当快,这说明左边的第二项有加速收敛的作用。如果一个级数收敛得特别快,那么它的极限很可能就不是有理数。Apéry 的证明可以说正是基于上面这个收敛很快的级数。不过,它收敛得还是不够快,所以 Apéry 对它进行了一些改造,进一步加快了收敛速度,从而证明了 \(\zeta(3)\) 的无理性。

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$\zeta(2)$

游戏名称

\[\zeta(2)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}.\]

  这个著名的等式称为 Basel 问题,关于这个问题有很多有趣的故事,不过它不是我们今天的主角,所以在这里就不多说了。
  今天要说的是和 Basel 问题很相似的另一个问题: \[\begin{equation} \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2\binom{2n}{n}} =\frac{1}{2}+\frac{1}{24}+\frac{1}{180}+\frac{1}{1120}+\cdots =\frac{\pi^2}{18},\label{eq-1} \end{equation}\] 或者换一种写法,就是 \[\begin{equation} \zeta(2)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2} =3\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2\binom{2n}{n}}.\label{eq-2} \end{equation}\] 利用 Stirling 公式很容易证明 \[\binom{2n}{n}\sim \frac{2^{2n}}{\sqrt{n}}\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}}+o(1)\right),\quad n\to\infty,\] 所以 \(\eqref{eq-2}\) 的右边收敛得很快,甚至可以用来计算 \(\zeta(2)\) 的近似值。

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